Жылдамдықты қалай есептеу керек: 11 қадам

Жылдамдық объектінің белгілі бір бағытта үдеуі ретінде анықталады. Көптеген жалпы жағдайларда біз v = s/t теңдеуін қолданамыз, мұнда v жылдамдыққа тең, s объектінің бастапқы нүктесінен толық ығысуына тең, ал t өткен уақытқа тең. Алайда, техникалық тұрғыдан алғанда, теңдеу нәтижесі курс барысында тек «орташа» жылдамдықты көрсетеді. Есептеу көмегімен маршрут кезінде кез келген уақытта объектінің жылдамдығын табуға болады. Бұл «жылдамдық» деп аталады, ол теңдеу арқылы анықталады v = (ds)/(dt) немесе, басқаша айтқанда, объектінің орташа жылдамдығының туындысының теңдеуі.

қадамдар

3 бөліктің 1 бөлігі: Жылдамдықты есептеу

Қадам 1. Жылжу бөлігіндегі жылдамдық теңдеуінен бастаңыз

Нысанның лездік жылдамдығын алу үшін алдымен объектінің орнын (ығысу тұрғысынан) берілген сәтте көрсететін теңдеу қажет. Бұл теңдеуде айнымалы болуы керек дегенді білдіреді с бір жағында жалғыз және т екінші жағынан, бірақ міндетті түрде жалғыз емес:

s = -1.5т²+ 10т + 4

• Бұл теңдеуде айнымалылар:

  Орын ауыстыру = с. Бастапқы позициядан объектінің жүріп өткен қашықтығы. Мысалы, егер объект 10 метр алға және 7 метр артқа жылжиды, онда жалпы ығысу 10 - 7 = болады 3 метр (10 + 7 = 17 метр емес).

  Уақыт = t. Өзін -өзі түсіндіру. Әдетте секундпен өлшенеді.

Қадам 2. Теңдеудің туындысын есептеңіз

Теңдеудің туындысы - бұл кез келген уақытта қисығын көрсететін басқа теңдеу. Орын ауыстыру формуласының туындысын табу үшін туындыларды табудың жалпы ережесімен функцияны ажыратыңыз: Егер y = a*x болса , туынды = a*n*x^n-1. Бұл ереже құрамында t бар теңдеудің әр мүшесіне қолданылады.

• Басқаша айтқанда, теңдеудің солдан оңға қарай t арқылы бастаңыз. Сіз t -ны тапқан сайын, көрсеткіштен 1 -ді алып тастаңыз және бүкіл мүшені бастапқы көрсеткішке көбейтіңіз. Кез келген тұрақты мүшелер (құрамында t жоқ терминдер) жойылады, себебі оларды 0 -ге көбейту қажет. Бұл процесс қиын емес - жоғарыда келтірілген теңдеуді мысал ретінде қараңыз:

s = -1.5т²+ 10т + 4

(2) -1, 5т^(2-1)+ (1) 10т^{1 - 1} + (0) 4т⁰

-3т¹ + 10т⁰

- 3t + 10

3 -қадам. S орнына ds/dt ауыстырыңыз

Жаңа теңдеу ескінің туындысы екенін көрсету үшін s -ді ds/dt белгісімен алмастырыңыз. Техникалық тұрғыдан, белгі «t -ке қатысты s туындысын» білдіреді. Мұны түсінудің қарапайым әдісі - ds/dt бірінші теңдеудегі кез келген нүктенің қисығы деп ойлау. Мысалы, s = -1, 5t түзілген түзудің қисығын табу² T = 5 кезінде + 10t + 4, оның туындысында t -ге 5 тағайындаңыз.

• Бұл мысалда дайын теңдеу келесідей болуы керек:

ds/dt = -3t + 10

Қадам 4. Лездік жылдамдықты табу үшін жаңа теңдеуде t мәнін тағайындаңыз

Алынған теңдеуді алғаннан кейін уақыттың кез келген нүктесінде жылдамдықты табу оңай. Сізге тек t мәнін таңдап, оны алынған теңдеуге тағайындау қажет. Мысалы, егер сіз t = 5 болатын лездік жылдамдықты тапқыңыз келсе, ds/dt = -3t + 10 туындысында t -ді 5 -ке ауыстырыңыз. Сондықтан мына теңдеуді шешіңіз:

ds/dt = -3t + 10

ds/dt = -3 (5) + 10

ds/dt = -15 + 10 = - 5 метр/секунд

Жоғарыда өлшеуіш/екінші өлшем бірлігі қолданылғанын ескеріңіз. Біз жылжуды метрмен, уақытты секундпен және тұтастай алғанда жылдамдықпен шешетіндіктен, өлшеу орынды

3 бөліктің 2 бөлігі: Графикте жылдамдықты бағалау

Қадам 1. Объектінің уақыт бойынша орын ауыстыруын графикке салыңыз

Жоғарыдағы бөлімде туындылар кез келген уақытта қисық табуға көмектесетін формулалардан басқа ештеңе емес екендігі айтылды. Шындығында, сызықтың көмегімен объектінің орын ауыстыруын графикке салғанда, берілген нүктедегі түзудің қисығы объектінің сол сәттегі жылдамдығына тең болады.

• Графикті жасау үшін уақытты көрсету үшін х осін, ал жылжуды білдіру үшін y осін пайдаланыңыз. Содан кейін орын ауыстыру теңдеуінде t мәндерін тағайындау, s мәндерін табу және графикке t, s (x, y) салу арқылы нүктелерді таратыңыз.
• График осьтің астына созылуы мүмкін екенін ескеріңіз. Егер объектінің қозғалысын білдіретін сызық х осінің астына созылса, онда ол басталған жерден артқа қарай жылжитын объектіні білдіреді. Әдетте, график у осінің артында болмайды - уақыт бойынша артқа қарай жылжып келе жатқан объектілердің жылдамдығын өлшеу әдеттегі емес!

Қадам 2. Түзудегі Р нүктесі мен оған жақын Q нүктесін таңдаңыз

П нүктесіндегі қисықты табу үшін «шекті есептеу» деп аталатын амал қолданылады. Шекті есептеу қисық сызықта екі нүктені (P және Q) таңдауды және екі нүктені қайта -қайта байланыстыратын түзудің қисығын табуды қамтиды, ал P q Q арасындағы қашықтық азаяды.

• Айтыңызшы, орын ауыстыру сызығында (1, 3) және (4, 7) нүктелері бар. Бұл жағдайда (1, 3) бойынша қисықты тапқыңыз келсе, анықтаңыз (1, 3) = Р және (4, 7) = Q.

Қадам 3. Р мен Q арасындағы қисықты табыңыз

P мен Q арасындағы қисық-P мен Q үшін y мәндерінің айырмашылығы, Р мен Q үшін х мәндерінің айырмашылығы. Басқаша айтқанда, H = (ж_Q -y_ҮШІН)/(x_Q - x_ҮШІН), мұнда H - екі нүктенің арасындағы қисық. Алдыңғы мысалда P мен Q арасындағы қисық:

H = (ж_Q-y_ҮШІН)/(x_Q- x_ҮШІН)

H = (7 - 3)/(4 - 1)

H = (4)/(3) = 1, 33

Қадам 4. Q -ды P -ге жақындатып, бірнеше рет қайталаңыз

Мақсат - Q мен P арасындағы қашықтықты бір нүктеге жақындағанша азайту. Q мен P арасындағы қашықтық неғұрлым аз болса, оның кіші сегменттерінің қисығы P нүктесіндегі қисыққа жақын болады, мысал (2; 4, 8), (1) нүктелерін пайдаланып, мысал теңдеу үшін мұны бірнеше рет жасайық., 5; 3, 95) және (1, 25; 3, 49) Q үшін және бастапқы нүкте (1, 3) Р үшін:

Q = (2; 4, 8):

H = (4, 8 - 3)/(2 - 1)

H = (1, 8)/(1) = 1, 8

Q = (1, 5.3, 95):

H = (3,95 - 3)/(1, 5 - 1)

Н = (0,95)/(0,5) = 1, 9

Q = (1, 25; 3, 49):

H = (3, 49 - 3)/(1, 25 - 1)

H = (0,49)/(0,25) = 1, 96

Қадам 5. Түзудегі шексіз кіші интервал үшін қисықты бағалаңыз

Q P жақындаған сайын, H P нүктесіндегі қисыққа жақындай түседі. Ақыр соңында, шексіз кіші аралықта, H P нүктесіндегі қисыққа тең болады, өйткені бұл аралықты өлшеу немесе есептеу мүмкін емес, ол тек бағаланады. тексерілген нүктелерден анық болған кезде P қисығы.

• Мысалда, Q -ны P -ге жақындату арқылы біз H үшін 1, 8, 1, 9 және 1.96 мәндерін алдық, өйткені бұл сандар 2 -ге жақындаған сияқты, бұлай деуге болады.

  2 -қадам. P қисығы үшін жақсы баға.

• Есіңізде болсын, сызықтың берілген нүктесіндегі қисық сызық үшін осы теңдеудің туындысына тең. Сызық объектінің уақыт бойынша жылжуын көрсетеді және жоғарыдағы бөлімде көрсетілгендей, объектінің лездік жылдамдығы оның берілген нүктедегі ығысуының туындысы болып табылады, сонымен қатар осылай деуге болады. 2 метр/секунд t = 1 кезіндегі лездік жылдамдық үшін жақсы баға.

3 -тің 3 -бөлігі: Есептер мысалдары

Қадам 1. s = 5t ығысу теңдеуімен t = 4 кезіндегі лездік жылдамдықты табыңыз³ - 3т² + 2т + 9.

Бұл бірінші бөлімдегі мысалмен бірдей, тек квадрат теңдеудің орнына текше, сондықтан ол дәл осылай шешеді.

• Біріншіден, теңдеудің туындысы бар:

s = 5t³- 3т²+ 2т + 9

s = (3) 5t^{(3 - 1)} - (2) 3т^{(2 - 1)} + (1) 2т^{(1 - 1) + (0) 9т0 - 1}

15т⁽²⁾ - 6т⁽¹⁾ + 2т⁽⁰⁾

15т⁽²⁾ - 6t + 2

• Содан кейін t (4) мәнін береміз:

s = 15т⁽²⁾- 6t + 2

15(4)⁽²⁾- 6(4) + 2

15(16) - 6(4) + 2

240 - 24 + 2 = 218 метр/секунд

Қадам 2. s = 4t ығысу теңдеуінің (1, 3) жылдамдықтағы жылдамдығын табу үшін графикалық бағалауды қолданыңыз.² - т.

Бұл мәселе үшін сіз (1, 3) P нүктесі ретінде қолданасыз, бірақ Q нүктесі ретінде қолдануға болатын жақын маңдағы басқа нүктелерді табуыңыз қажет. Сондықтан бұл тек H мәндерін табу және бағалау жасау ғана.

• Алдымен t = 2, 1, 5, 1, 1 және 1, 01 нүктелеріндегі Q нүктелерін табамыз.

s = 4t²- т

t = 2:

s = 4 (2)²- (2)

4 (4) - 2 = 16 - 2 = 14, сондықтан Q = (2, 14)

t = 1,5:

s = 4 (1, 5)² - (1, 5)

4 (2, 25) - 1, 5 = 9 - 1, 5 = 7, 5, содан кейін Q = (1, 5,7, 5)

t = 1, 1:

s = 4 (1, 1)² - (1, 1)

4 (1, 21) - 1, 1 = 4, 84 - 1, 1 = 3, 74, содан кейін Q = (1, 1, 3, 74)

t = 1.01:

s = 4 (1, 01)² - (1, 01)

4 (1, 0201) - 1, 01 = 4, 0804 - 1, 01 = 3, 0704, содан кейін Q = (1, 01; 3, 0704)

• Содан кейін H мәндері бар:

Q = (2, 14):

H = (14 - 3)/(2 - 1)

H = (11)/(1) =

11 -қадам.

Q = (1, 5,7, 5):

H = (7, 5 - 3)/(1, 5 - 1)

H = (4, 5)/(0, 5) =

9 -қадам.

Q = (1, 1, 3, 74):

H = (3, 74 - 3)/(1, 1 - 1)

H = (0, 74)/(0, 1) = 7, 3

Q = (1, 01; 3, 0704):

H = (3, 0704 - 3)/(1, 01 - 1)

H = (0, 0704)/(0, 01) = 7, 04

• Н мәндері 7 -ге жақындаған сияқты, бұлай деуге болады 7 метр/секунд(1, 3) -тегі жылдамдық үшін жақсы баға.

Кеңестер

• Үдеуді табу үшін (уақыт бойынша жылдамдықтың өзгеруі), орын ауыстыру функциясының туынды теңдеуін алу үшін бірінші бөліктегі әдісті қолданыңыз. Сонымен, бұл жолы туынды теңдеуден басқа туынды алыңыз. Осылайша сіз белгілі бір уақытта үдеуді табу үшін теңдеуге ие боласыз - тек уақытқа мән беру қажет.
• Y (орын ауыстыру) X (уақыт) қатысты теңдеу өте қарапайым болуы мүмкін, мысалы Y = 6x + 3. Бұл жағдайда қисық тұрақты болады және қисықты алу үшін туынды табудың қажеті жоқ., сызықтық графиктер үшін Y = mx + b негізгі үлгісіне сәйкес, 6.
• Орын ауыстыру қашықтыққа ұқсас, бірақ векторлық ығысуды және скалярлық үдеуді жүзеге асыратын белгілі бір бағытқа ие. Орын ауыстыру теріс және қашықтық тек оң болуы мүмкін.